المشتقات

مُقدمة عن المشتقات

في بداية الأمر يجب أن نعرف ما هو الميل Slope ، حيث أنه يُعبر عن مقدار التغير في كميتين ، فمثلًا إذا كانت القيمة الأولى يُرمز لها بـ X والثانية يُرمز لها بـ Yفإن الميل يكون مقدار التغير في قيمة Y  على مقدار التغير في قيمة X والصورة التالية تُوضح ذلك :

وبالتالي يُمكننا أن نُحدد الميل من خلال حساب مقدار التغير في أي قيمتين ، ولكن من خلال الرسم الإحداثي بين المحور السيني والمحور الصادي عن نقطة واحدة لا يُمككنا تقدير الميل التي يكون مقدار الإزاحة بها قريبًا من الصفر ، وهنا يتم استخدام المشتقات.

تعريف المشتقات

الاشتقاق أو التفاضل هو طريقةٌ لإيجاد مُشتقّة الدالة عند نقطةٍ معينةٍ، والمُشتقّة هي معدل التغيير الآني (Instantaneous Rate) في الدالة بالنسبة لأحد متغيراتها. يبدو أن الأمر تعقد في نظرك أكثر، سوف أفسر لك كل نقطةٍ على حدة، لذا ركّز معي.

نفترض أن أمامك معادلة رياضية بها متغير x وy، ففي هذه الحالة، يعتبر معدل التغيير الآني الذي أخبرتك عنه منذ قليل، طريقة تعرِفُ بها مدى سرعة تغير y بالنسبة لـ x عند أي قيمةٍ معينةٍ للـ x، أي أن المشتقة ينطبق عليها هذا الكلام، فيما يعني أن الاشتقاق هو طريقةٌ لإيجاد هذا المعدل الذي تحدثنا عنه.1.

المشتقات هي أحد الوسائل الرياضية التي يتم استخدامها من أجل إيجاد قيمة التغير اللحظي في كمية ما ، وبناءً على ذلك تم تعريف الدالة المشتقة بأنها ميل المماس لمنحنى f )X)  ويتم رصدها عند أي نقطة ، وبها يتم استخدام صيغة حساب الميل التالية :

والشكل التالي يُوضح مقدار التغير في بعض الكميات المتمثلة في X  ، Y كما يلي :

وبذلك فإن مقدار التغير في قيمة X  يكون : X+DX

ومقدار التغير في قيمة Y  يكون : Y + DY

وقيمة الميل هنا = Y + DY / X+DX

قواعد المشتقات في الرياضيات

قبل التحدث عن القوانين المختلفة التي تندرج تحت الاشتقاق، سوف أوضح لك ملحوظةً هامةً وهي: إذا كانت y هي دالة بمتغير x (بمعنى آخر: أن y تساوي معادلة المُتغيّر فيها هو x، مثل هذه العلاقة: y = 2x + 1)، فهذا يعني أن مشتقة y تساوي dy/dx، وهي صيغةٌ تعبر عن معدل تغير y بالنسبة إلى x.

مشتقة الدالة الأسية

إذا كانت y دالة بمتغير x، وx هنا متغير ذو أس (يعلوه رقم، مثل x²)، فإن هذه المعادلة تعد معادلةً أسية، ولها طريقةٌ معينةٌ في الاشتقاق:

1.   إذا كانت المعادلة المراد اشتقاقها هي: y = xⁿ، فإن مشتقة y التي نعبر عنها ب dy/dx تساوي: nx^n-1.

2.   إذا كانت المعادلة المراد اشتقاقها هي: y = kxⁿ، فإن: dy/dx = nkx^n-1.

مما يعني أن مشتقة الدالة الأسية هي أن ينزل الأس أمام المتغير (مضروبًا في)، ثم نطرح من الأس واحد، كما رأينا في الفقرة السابقة.

أمثلة

1.   إذا كان: y = x⁴، فإن: dy/dx = 4x³.

2.   إذا كان: y = 2x⁴، فإن: dy/dx = 8x³...

مشتقة الدوال المجموعة أو المطروحة

يمكن أن تكون المتغيرات الموجودة في المعادلة مجموعةً أو مطروحةً، فهل سيصبح الاشتقاق مأزق؟! بالطبع لا، سنشتق كل متغيرٍ من المتغيرات على حدة، مع الحفاظ على علامات الجمع والطرح في أماكنها.

أمثلة

1.   إذا كان: y = 3x + 4x³، فإن: dy/dx = 3 + 12x².

2.   إذا كان: z = v² – 3v⁶، فإن: dz/dv = 2v – 18v^5.

ملحوظة: رأينا في المثال السابق أن مشتقة 3x تساوي 3، وهذا لأن المتغير x هنا يعتبر أس واحد، فعندما نضرب الواحد في الثلاثة الموجودة أمام المتغير يكون الناتج 3، وعندما نطرح الأس واحد من واحدٍ يصبح صفر، ومن الثوابت في الرياضيات أن أي قيمةٍ مرفوعةٍ للأس صفر تساوي 1، لذلك كانت نتيجة اشتقاق 3x هي 3.

مشتقة الدوال الكسرية

تعد هذه الدوال أحد الأشكال التي يستصعبها معظم الطلاب، وذلك بسبب صيغها المعقدة، ولكن هنا يكون التبسيط سيد الموقف، فإذا بسطت الصيغة سوف يصبح الاشتقاق سهلًا. ترتبط الدالة الكسرية بالدالة الأسية، حيث تكمن فكرة اشتقاق الدالة الكسرية في تحويلها إلى صورةٍ أسيةٍ، ومن خلال ذلك تشتق تبعًا لقوانين الدالة الأسية.

أمثلة

1.   إذا كان: y = 1/x، فإن: dy/dx = -1/x².

2.   إذا كان: z = 2/3x+1، فإن: dz/dx = -2/(3x+1)²+3.

ملحوظة رقم 1: في المثال الأول، تحولت الصورة الكسرية للمتغير إلى صورةٍ أسيةٍ، عن طريق قلب الكسر، فالمتغير x هنا في المقال أسه واحد، فتحول إلى متغيرٍ غير كسريٍّ ولكن أسه -1، وذلك لأن الكسر انقلب فتحولت إشارة الأس من الموجب إلى السالب (وهذه أيضًا قاعدةٌ رياضيةٌ شهيرة). فحينها تحولت المعادلة إلى الصورة الآتية: y = x^-1، وعليه اشتقت المعادلة طبقًا لقانون الدالة الأسية الذي سبق شرحه، ثم تحولت الصيغة الأسية بعد الاشتقاق إلى الصيغة الكسرية من جديدٍ للحفاظ على شكل المعادلة.

ملحوظة رقم 2: في المثال الثاني، أعرف أنك تتساءل عن ما حدث بالمعادلة بعد اشتقاقها، ولكن لا تقلق فالأمر بسيطٌ. الاشتقاق في هذا المثال تم على مرحلتين، المرحلة الأولى حولنا الصورة الكسرية إلى صورةٍ أسيةٍ كما وضحنا في الملحوظة السابقة، ليصبح شكل الدالة كالتالي: z = 2(3x+1)^-1، والمرحلة الثانية هي اشتقاق الدالة الأسية كقوسٍ كاملٍ عن طريق ضرب الأس (سالب واحد) في العدد الصحيح المضروب في القوس ليصبح -2، ثم نطرح من الأس واحد ليصبح -2، ولا ننسى أن نشتق ما بداخل الأس فهناك متغيرٌ يجب اشتقاقه، وبعد اشتقاق ال3x ستصبح 3، وأخيرًا نحول المعادلة من هذه الصورة بعد الاشتقاق: z = -2(3x+1)^-2 +3 إلى الصورة الكسرية: z = -2/(3x+1)² +3..

مشتقة الدالة المضروبة

عندما يكون لدي حاصل ضرب دالتين في معادلةٍ ما، فإن مشتقة هذه المعادلة تساوي: مجموع كل من: الدالة الأولى مضروبة في مشتقة الدالة الثانية والدالة الثانية مضروبة في مشتقة الدالة الأولى.

أمثلة

إذا كان: y = x² (3x+1)، فإن: dy/dx = 2x(3x+1) + 3x²

 

الاشتقاق أو التفاضل في الرياضيات يتم من خلال مجموعة من القوانين الرياضة والقواعد الهامة ، ومن القواعد الأساسية للمشتقات هي القاعدة المعروفة باسم Chain rule التي تنص على :

إذا كنت ص = د (س)^ن ؛ فإن صَ = ن [ د (س) ^ن-1 × دَ (س) ] .

ومن قواعد التفاضل والاشتقاق بالرياضيات ، ما يلي :

قاعدة ثابتة

إذا كانت د (س)  = 3 ، فهذا دليل على أن هذه الدالة تأتي بخط أفقي ليس له ميل ، وبالتالي تكون قيمة التغير = صفر .

قاعدة الاشتقاق كثيرة الحدود

إذا كانت د (س) = س ^ن ؛ فإن د (س) = ن س ^ن-1

قاعدة جمع وطرح المشتقات

إذا كانت د(س) = ق (س) + هـ (س) ، فإن د(س) = ق (س) + هـ (س) ؛ بشرط أن تكون قابلة للاشتقاق عند س .

وإذا كانت د(ص) = ق (ص) – هـ (ص) ، فإن د(ص) = ق (ص) – هـ (ص) ؛ بشرط أن تكون قابلة للاشتقاق عند ص .

قاعدة ضرب المشتقات

تنص على أنه إذا كان هناك دالة تأتي من حاصل ضرب كميتين شرط أن تكون قابلة للاشتقاق عند الدالة ؛ فإن القانون يكون على النحو التالي :

مثال: إذا كانت ع = د (س) × ق (س)

فإن مشتقة ع = [ مشتقة د (س) ×  ق (س) ] + [ د (س) × مشتقة ق (س)

ويمكن صياغة القانون نصيًا على أن مشتقة حاصل ضرب دالتين = [ مشتقة الأولى ×  الثانية + الأولى × مشتقة الثانية ]

قاعدة قسمة المشتقات

إذا كان كل من ع (س) ، ك (س) قابلتين للاشتقاق عند س وكانت ك (س) لا تساوي صفر ؛ فإن مشتقة ناتج القسمة تكون كما يلي :

د(س) = ع (س) / ك (س) ، ويكون اشتقاق الدالة على النحو التالي :

دَ(س) = [ مشتقة ع (س) × ك (س) ] – [ ع(س) × مشتقة ك (س) ] / [ك(س)]²

ويمكن صياغة قانون اشتقاق قسمة دالتين نصيًا كما يلي : (مشتقة الأولى × الثانية) – (الأولى × مشتقة الثانية) ويتم قسمة الناتج على مربع الثانية ، ويجب أن لا تكون قيمة الدالة الثانية تساوي صفر .

قاعدة اشتقاق الكسور

إذا كانت ص = ك ^{(س / ق)}؛ فإن مشتقة ص = (س/ق) ك ^{(س / ق) – 1}بشرط أن يكون ناتج س / ق عدد نسبي وليس صحيح .

أمثلة محلولة على المشتقات

مثال1 : إذا كانت د(س) = 4س³ + 3 س² + س + 2 ؛ أوجد مشتقة الدالة .

جـ1: دَ(س) = 12 س ^{(3 – 1)} + 6 س ^{(2 – 1)} + س ^{(1 – 1)} + 0

= 12 س² + 6س¹ + س⁰

= 12 س2 + 6س + 1

مثال 2 : إذا كانت ص = س ^(3/2)

فإن صَ = 3/2 (س) ^{(1.5 – 1)} = 1.5 س ^0.5

 

المراجع :

موقع مرسال

Introduction to Derivatives

Common derivatives formulas – exercises

 Finding Instantaneous Rate of Change of a Function: Formula & Examples، من موقع: www.study.com، اطّلع عليه بتاريخ August/17/2020 | 06:28 AM

2 Differentiation، من موقع: www.revisionmaths.com، اطّلع عليه بتاريخ August/17/2020 | 06:28 AM

3 Derivative Rules، من موقع: www.mathsisfun.com، اطّلع عليه بتاريخ August/17/2020 | 06:28 AM

4 Derivative of the product of two functions، من موقع: www.sangakoo.com، اطّلع عليه بتاريخ August/17/2020 | 06:28 AM

https://www.arageek.com/l/%D8%A7%D9%84%D8%A7%D8%B4%D8%AA%D9%82%D8%A7%D9%82-%D9%81%D9%8A-%D8%A7%D9%84%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%B6%D9%8A%D8%A7%D8%AA