البرهان الجبري
نبذة عن الجبر وتاريخه
– الجبر هو فرع من فروع الرياضيات يتعامل
مع الرموز و قواعد التلاعب بتلك الرموز ، في الجبر الأولي ، تمثل هذه الرموز (تُكتب
اليوم باسم الحروف اللاتينية واليونانية) كميات بدون قيم ثابتة ، تُعرف باسم المتغيرات
، تماماً كما تصف الجمل العلاقات بين كلمات معينة ، في الجبر ، تصف المعادلات العلاقات
بين المتغيرات
.
– كان عمل فرانسوا فييت بشأن الجبر الجديد
في نهاية القرن السادس عشر خطوة مهمة نحو الجبر الحديث ، و في عام 1637 ، نشر رينيه
ديكارت كتاب
La Géométrie ،
واخترع الهندسة التحليلية وأدخل الرموز الجبرية الحديثة ، حدث رئيسي آخر في تطوير الجبر
كان هو الحل الجبري العام للمعادلات المكعبة و الرباعية ، التي تم تطويرها في منتصف
القرن السادس عشر
.
– تم تطوير فكرة المحدد بواسطة عالم الرياضيات
الياباني سيكي كوا في القرن السابع عشر ، ثم تبعها غوتفريد لايبنيز بشكل مستقل بعد
عشر سنوات ، لغرض حل أنظمة المعادلات الخطية المتزامنة باستخدام المصفوفات ، و قام
غابرييل كرامر أيضًا ببعض الأعمال في المصفوفات والمحددات في القرن الثامن عشر ، و
قام جوزيف لويس لاغرانج بدراسة التباديل في كتابه Réflexions sur la résolution
algébrique des équations الذي وضعه عام 1770 و المكرس لحلول المعادلات الجبرية ، و كان باولو روفيني
أول شخص قام بتطوير نظرية مجموعات التقليب ، و مثل سابقيه ، أيضًا في سياق حل المعادلات
الجبرية
.
تعريفه :
البرهان هو جوهر كل الأشياء التي تراها
في الرياضيات ، أي أن كل الأشياء التي تستخدمها و تأخذها كأمر مسلم به ، مثل نظرية
فيثاغورس ، و يتم إثبات البرهان في مرحلة ما على مدى آلاف السنين .
نبذة عن البرهان الجبري
– فكرة البرهان هي الإدلاء ببيان عام – على
سبيل المثال ، لا تريد فقط أن تقول أن الزوايا في بعض المثلثات تزيد عن 180 ، و تريد
أن تقول أن الزوايا في جميع المثلثات تزيد عن 180 ، و البرهان هو دليل على أنه يجب
عليك معرفته بالفعل ، و البرهان هو الهيكل العام للإثبات هو البدء ببيان واحد ، و اتخاذ
سلسلة من الخطوات المنطقية و الرياضية ، و ينتهي به المطاف في الاستنتاج المرغوب ،
بالطبع ، ليس كل ما نريد يمكن إثباته صحيح .
أمثلة على البرهان الجبريالمثال الأول
– يزعم هيرنان أنه ” إذا قمت بتعداد رقم و
قمت بإضافة 1 ، فستكون النتيجة عددًا أوليًا ” ، و لاثبات ذلك سنبدأ بالأرقام الأصغر :
1 ^ 2 + 1 = 1 + 1 = 2 ، الذي يكون أولي .
2 + 1 = 1 + 1 = 2 ، و هو أولي .
2 ^ 2 + 1 = 4 + 1 = 5 ، الذي يكون أولي .
2 + 1 = 4 + 1 = 5 ، وهو أولي .
– الآن ، في هذه المرحلة ، قد يبدو أن بيانها
صحيح ، لكن إذا جربنا الرقم المربع التالي :
3 ^ 2 + 1 = 9 + 1 = 10 ، و هو ليس أولي .
2 + 1 = 9 + 1 = 10 ، و هي ليست أولية .
– هذا مثال مضاد لبيانها ، لذلك أثبتنا أنه
خطأ
.
المثال الثاني
– أثبت أن n + 2) ^ 2- (n-2) ^ 2 (n + 2)2 – (ن 2) 2 قابل للقسمة على 8 لأي عدد صحيح
موجب
nn .
– للقيام بذلك ، نحتاج إلى إظهار أن n + 2) ^ 2- (n-2)
^ 2 (n + 2)2 – (ن
2) 2 يمكن كتابتها بطريقة قابلة للقسمة بوضوح على 8 ، لإيجاد طريقة لكتابة تعبير كهذا
بطريقة مختلفة ، يمكننا محاولة توسيعه ، لذلك ، تتوسع الشريحة الأولى إلى (ن + 2)
^ 2 = ن ^ 2 + 2N
+ 2N + 4 = ن ^
2 + 4N + 4 (ن + 2) 2 = ن 2 + 2N + 2N + 4 = ن 2 + 4N + 4
، ثم ، يتوسع القوس الثاني إلى (ن 2) ^ 2 = ن ^ 2-2n-2N + 4 = ن ^ 2-4n + 4 (ن 2) 2 = ن 2 -2n-2N + 4 = ن 2 -4n + 4 .
– يحتوي التعبير في السؤال على الشريحة الثانية
التي يتم طرحها من الأولى ، لذلك ، سنفعل هذا الطرح مع التوسع بين قوسين : (ن + 2)
^ 2- (ن 2) ^ 2 = (ن ^ 2 + 4N + 4) – (ن ^ 2-4n + 4) (ن +
2) 2 – (ن 2) 2 = (ن 2 + 4N + 4) – (ن 2 -4n + 4) يمكننا
أن نرى أن ن ^ 2n2
سيتم إلغاء البنود
، و كذلك 4s .
– لذلك كل ما تبقى لدينا هو (ن ^ 2 + 4N + 4) – (ن ^ 2-4n + 4) = 4N – (- 4N) = 8N (ن 2 + 4N + 4) – (ن 2 -4n + 4) = 4N – (- 4N) = 8N ، لذا ، فإن التعبير بأكمله
يبسط إلى 8n8n. الآن ، إذا كان nn عددًا صحيحًا ، فيجب أن تكون 8n8n قابلة للقسمة على 8 (إذا قسمناها على 8
، نحصل على الإجابة nn). بما أن 8n8n مكافئ
للتعبير الذي بدأناه ، يجب أن تكون الحالة (n + 2) ^ 2- (n-2) ^ 2 (n + 2)
2 – (ن 2) 2 ، قابل للقسمة على 8 لأي عدد صحيح
موجب
nn – و بالتالي
فإن العبارة أصبحت عالمية ، و بالتالي ، لقد أكملنا الدليل .
أنواع البراهين الرياضية البرهان الجبري
و هو الذي يختص بحل المعادلات و المتباينات .
البرهان الهندسي
يختص بالمستقيمات و القطع المستقيمة و التوازي
و الزوايا
.
البرهان الإحداثي
يختص بالمستوى و قوانين الهندسة التحليلية .
