نظرية جالوا

تعتبر نظرية جالو نموذجا تتجلى فيه وحدة علم الرياضيات من خلالها تتعاضد فروع من الرياضيات لتكوين وسيلة فاعلة لدراسة مسائل مهمة تاريخيا و رياضيا إن هذا الكتاب هو محاولة لإبراز نظرية جالو في هذا الضوء و بإسلوب مناسب لطلاب السنة الثانية والثالثة من مرحلة البكالريوس في الجامعات البريطانية يعتبر تطبيق زمرة جالو على المعادلة من الدرجة الخامسة الخط الأساسي للموضوع بالأضافة إلى الطريقة التقليدية عن طريق معادلة كثيرة الحدود العامة .

وهي طريقة مباشرة أشعر بإنهما أكثر إقناعا إذا أوضحت عدم قابلية الحل عن طريق الجذر لمعادلات خاصة معاملاتها أعداد صحيحة وقدمت نظرية جالو التجريدية في سياق امتداد الحقول الأختيارية بدلا من الحقول الجزئية للأعداد المركبة وفي السنة التالية نشر جالو أول بحث له وكان عن الكسور المتواصلة وكان جالو يكشف معادلات كثيرة الحدود العديد من النتائج في نظرية معادلات كثيرة الحدود هدف نظرية جالو هو دراسة حلول

F(t)=tⁿ+a_n-1  t^n-1 + ..+..+ a₀ = 0

الفكرة الأساسية لجالو هي دراسة تناظرات كثيرة الحدود F(t)

وهذه التناظرات تكون زمرة جالو و إمكانية حل معادلات كثيرات الحدود تتم بواسطة خواص جالو اكتشف جالو بطريقة مجردة وليس فقط بالنظر إليها علاقتها مع معادلات كثيرات الحدود ويعتبر الأسلوب الذي اتبعه في ذلك أقل تجديدا مقارنة بالأسلوب الحديث ولكنه يعتبر اسلوبا على درحة كبيرة وفي الحقيقة جالو يعتبر احد الرواد الذين أسسوا الجبر المجرد المعاصر فإنه يكون المناسب أن نلقي نظرة على الطريقة التي كان يفكر بها جالو فعلى سبيل المثال :

F(t)= t⁴ _ 4t² _ 5 = 0

يمكن تحليل هذه المعادلة

0=(t²_5)(t²+1)

 ولهذه المعادلة أربعة أصفار  , 5 , -5) t= i , -i) من الواضح أن هذه الأصفار تنقسم إلى زوجين من الأصفار, 5 , -5   i , -i  وفي الحقيقة أنه من المستحيل التميز جبريا , 5 , -5   i , -i  بالمفهوم التالي وتستطيع أن تستخدم الأسلوب نفسه للحصول على y , x  وعليه فإن  y , x  تحققان معادلة من الدرجة الثانية بمعاملات في Q وبالتالي يمكن أن نجدهما كعبارات جذرية بمعاملات كسرية جالو خمن لنا وجود الأصفار ولو كان لدينا معلومات أكثر لاستطعنا إنهاء المسألة وقيمت أعماله بأنها جديرة وكان آمين الذي استلم مخطوطة جالو وآخذها معه للبيت لمتابعتها ولكنه مات قبل أن يقراها ولم يعثر عليها بين الأوراق فيما بعد

جالو لم يعتقد أن الضياع المتكرر لمخطوطاته مجرد صدفة بل نتيجة تاثير مجتمعه وحاول جالو العمل كمدرس رياضيات خاص في مادة الجبر المتقدم لكنه لم يوفق في ذلك وتعتبر نظرية جالو مزيج مبهر من الرياضيات التقليدية والرياضيات المعاصرة وتأخذ كثيرا من الجهد قبل أن تصل إلى إدراك ماهيتها

ولد جالو في بورج لارين قرب باريس وكان ابوه نيكيولا جبرائيل جالو ثم أصبح رئيسا للبلدية بعد عودته لويس الثامن عشر إلى العرش في عام 1814 م وأما والدة جالو فكانت ابنة قاض وتجيد اللاتينية بطلاقة نتيجة لثقافتها الدينية والمعارف الكلاسيكية تلقى جالو علمه من والدته خلال الاثني عشر حيث درس العلوم وكان سعيد في طفولته ومحط اهتمامه شديد من والدته فقد فضلت أن يبقى معها في البيت بالرغم من قبوله في كلية رايم وفي أول فصل دراسي له تمرد الطلاب ورفضوا الغناء في الكنيسة المدرسة مما ادى في السنوات التاليه مما زاد ضجرا وخلال هذه الفترة بدأ جالو يهتم طرد مائة منهم وقد تفوق جالو في السنين الأولى من دراسته في تلك المدرسة وحصل على الجائزة الأولى ولكن بعد ذلك بدأ يشعر بالملل ورسب بالرياضيات بصورة جدية

تعتبر نظرية جالو مثلا ممتازا للنظرية الحديثة لوحدة الرياضيات فمن خلالها تستخدم خصائص الحقول والزمر في مجال النسبي الجبرية لحل مسائل في نظرية المعادلات الكلاسيكية وقد اكتسبت نظرية جالو أهمية خاصة في العقود القريبة كما أن هذا الموضوع يمثل امتداد لجهود العلماء العرب والمسلمين في عصور النهضة الحضارية في مجال المعادلات الجبرية أمثال الخوارزمي وابن الهيثم وقد اهتم المؤلف بالناحية التاريخية لتطور الموضوع ومعالجته للأفكار بتدرج طبيعي يعطى القارئ فكرة عن كيفية توصل جالو وغيره إلى بعض النتائج المدرجة في الكتاب واعتمد على أسلوب العرض العفوي غير الرسمي مما يجعل الموضوع جالو تشويقا فالمؤلف اعتمد على العبارات والكلمات الدارجة العامية .

بعد أن أنهو نظرية المتغيرات تحول إلى نظرية الأعداد الجبرية فناقش نظرية جالو عن الأجسام إلى أن أصبحت أبحاثه منهجية وخلال ثلاث سنوات وضع مجلد جالو يختصر نظرية الأعداد الجبرية كما وضح مناقشته آراء العديد من العلماء الذين سبقوه وعاصروه .

جالو هو عالم رياضي فرنسي عاش في القرن التاسع عشر بينما كان عمره عشر سنين أو يزيد عن ذلك بقليل كان يستطيع أن يحدد الشرط الضروري و الكافي لكي نكون دالة حدودية ما قلبلة للحل وقد ادت اعماله إلى تأسيس نظرية جالو وهي نظرية مهمة في الجبر المجرد كان أول كلمة استعمل كلمة زمرة هناك خاصية مشتركة لكل الصيغ يمكن توضيحها من خلال طريقة حل المعادلة  x³ + px = q

وهذا هو الحل

X=³ 

الصيغة أعلاه مكونة معاملات وذلك بتكرار عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة واستخلاص الجذور .

لقد مضى ستة عشر عام على صدور الطبعة الأولى من كتابي  ( نظرية جالوا )ونظرية جالوا الكلاسيكية ليست بالموضوع الذي يمر بتطورات هائلة لنا فإن أغلب محتوى الطبعة الأولى بقي في هذه الطبعة دون تغير ومع ذلك فقد قمت بإجراء بعض اللمسات الجمالية والتغيرات الطفيفة والتي من شأنها إعادة الشباب للطبعة الأولى وأهم التغيرات في هذه الطبعة هي إضافة لمحة عامة عن الموضوع في البداية وباب حساب جالوا كما أضفت بعض الأمثلة المحفزة وعدلت بعض التمارين وقمت بتصحيح الأخطاء المطبعية التي تم استدراكها و لكن قد توجد أخطاء جديدة في هذه الطبعة لان حروفها صفت من جديد لذا فإني ادعوا القارئ أن يكتشفها كما طرأت بعض التعديلات      على المقدمة التاريخية بناء على بعض الحقائق المكتشفة مؤخرا ولقد سمح لي الناشر بإضافة ما كنت  آمل علمه بالطبعة الأولى وهي تضمين صور من مخطوطات جالوا وبعض الصور وبعض الصور التاريخية وقد أجريت بعض التعديلات في البراهين الرياضية إيضاحا لها أو  لتصحيح  الأخطاء فيها وهو قليل وحذفت بعض المواد التي اعتقد أنها زائدة كما حاولت المحافظة على الطريقة العفوية غير الرسمية في عرض المادة كما في الطبعة الأولى والتي تعتبر الميزة الأولى كهذا الكتاب في رأي   العديد من القراء وقد استفدت من تعاون العديد من الجهات معي عند إعداد هذه الطبعة فلقد وردت إلى قوائم بأخطاء مطبعية وأخرى رياضية من كل ستيفن باريروأن برسن بوب كوش فيلب مجنز .

تعتبر نظرية جالوا أنموذجا تتجلى فيه وحدة علم الرياضيات من خلالها فروع مختلفة في الرياضيات لتكون وسيلة فاعلة لدراسة مسائل مهمة تاريخيا ورياضيا أن هذا الكتاب هو محاولة لإبراز نظرية جالوا هذا الضوء وأسلوب مناسب لطلاب السنة الثانية و الثالثة من مرحلة البكالوريوس ( الجامعات البريطانية ) يعتبر تطبيق زمرة جالوا على  المعادلة من الدرجة الخامسة الحظ الأساسي للمواضيع بالإضافة إلى طريقته التقليدية عن طريق معادلة كثيرة الحدود العامة وهي طريقة مباشرة اشتهرت أنها أكثر إقناعا إذا أوضحت عدم قابلية الحل عن طريق الجذر المعادلات الخاصة من الدرجة الخامسة  (معاملاتها أعداد صحيحة )وقدمت نظرية جالوا التجزئة في سياق امتداد الحقول الاختيارية بدلا من الحقول الجزئية للأعداد المركبة أن الفائدة من هذا الأسلوب تعرض بل تزيد على ذلك عن العمل لإضافة المطلوب من المواضيع الأخرى معطاة في مسألة مضاعفة حل المعادلات مثلث الدائرة وتربيع الدائرة كذلك إنشاء المضلعات المنتظمة حل المعادلات العكسية والرباعية من المواضيع الأخرى المعطاة في مسائل مضاعفة الزاوية بناء الحقول المنتهية والنظرية الأساسية في الجبر والتي برهنا طرق معظمها جبرية بحته وتمر تطبيقاتها لنظرية سايلو لم ألتزم بالمسار للموضوع في الأحيان حرص منا على أن يكون ما تتطلبه مادته وأهم الأعداد على ذلك برهان تسامى العدد π .