نظرية غالوا
يحقّ
النظر إلى غالوا على أنه من أعظم العباقرة على مر التاريخ. هو عالم رياضي فرنسي عاش
في القرن التاسع عشر. ولد في بورلارين في 25 أكتوبر 1811. مات أبوه منتحرا، وكانت أمه
معلمه الوحيد في أول 12 سنة من حياته، حيث كانت جحذ مكثف لهذا العبقري الصغير. التحق
بثانوية لويس الأكبر سنة 1823، ثم سئم من الدراسة سريعا ببلوغ عمره 14 سنة، وتوافق
ذلك مع بدء اهتمامه بالرياضيات، فقد حصل على نسخة من كتاب “عناصر الهندسة” للرياضي
أدريان ماري ليجاندر، قرأها كما تقرؤ القصص وأتقنها من القراءة الأولى. وفي سن 15 بدأ
يطلع على أعمال الرياضيين الكبار خصوصا نيلس هنريك أبيل وجوزيف لاغرانج، ودخل إلى مدرسة
الأساتذة العليا لاحقا.
كتب مدرس
الفيزياء بيكليه عن هذا العبقري الصغير: “…إنه بالتحديد لا يفقه شيئا. قد قيل لي أن
لهذا الطالب مهارات رياضية. وهذا بدوره ما صعقني. فإستناداً إلى اختباراته، يبدو أنه
على قدر بسيط من الذكاء، أو أنه قد أخفى عني ذكائه بشكل جعل من المستحيل عليّ اكتشافه.”
فشل جالوا في الحصول على قبول المدرسة التقنية، ليس مرة بل مرتان. وخلال المرة الاولى،
في 1829، كان مستاءً من الأسئلة السخيفة والتي فجرت غضبه، فما كان منه إلا أن قذف الممحاة
على مسؤول الاختبار!في 29 مايو عام 1932، الليلة التي تسبق يوم وفاته، أمضى الليل كله
يكتب رسائل إلى صديقه أوجست شوفاليي، كانت بمثابة وصيته في الرياضيات. في هذه الرسائل
كتب عن المعادلات التي تحل عن طريق جذور، وأعطى لمحات عن آخر أعماله في التحليل، وطلب
من صديقه نشرها في “المجلة الموسوعية.”كان أهم أعماله ما عرف بنظرية غالوا: و هي نظرية
مهمة في الجبر المجرد. وعندما كان عمره عشر سنين أو يزيد عن ذلك بقليل، كان يستطيع
أن يحدد الشرط الضروري و الكافي لكي تكون دالة حدودية ما قابلة للحل. وكان أول من استعمل
كلمة “زمرة” (بالفرنسية Groupe)، كمصطلح
تقني في الرياضيات.
قصة طريفة
عن جالوا حدثت في أثناء مناقشته من قبل علماء رياضيّات كبار، حيث دخل عليه أحدهم وقال
له أنني أتيت فقط لأثبت لك خطأ نظريتك الفادح. خرج ذلك العالم يقول: لأول مرّة في حياتي
أحضر مناقشة في الرياضيات وأستوعب أقل من 5% منها.
اختلفت
الروايات في وفاة هذه العبقرية، ولكنها بلا شك كانت تراجيدية جدا، حيث مات مقتولا في
عام 1932 في بداية العشرينيات من عمره. البعض يقول أنه مات في منازلة أحد الضباط بالرصاص
للفوز بامرأة أحبها، وآخرون يقولون أنه مات دفاعا عن شرف امرأة منازلة بالرصاص أيضا.للأسف
الشديد معظم أعماله بقيت غامضة وغير مفهومة لمدة طويلة لأنه لم يجد الوقت الكافي لتفصيلها
ليلة وفاته.آخر كلماته كانت لأخيه:
نظرية
غالو في الرياضيات، وبالتحديد في الجبر التجريدي، نظرية غالوا (بالإنجليزية: Galois
theory)، المسماة هكذا نسبة لعالم الرياضيات الفرنسي
إيفاريست غالوا، تعطى صلة بين نظرية الحقول من جهة، ونظرية الزمر من جهة ثانية. باستعمال
نظرية غالوا، يمكن تبسيط مجموعة من المعضلات من نظرية الحقول إلى نظرية الزمر، التي
تعتبر أكثر بساطة و أكثر فهما.
التطبيق على المعضلات الاعتيادية
ميلاد
نظرية غالوا استمد أصلا من السؤال التالي، والذي تجيب عليه مبرهنة أبيل-روفيني.
لماذا
ليس هناك صيغة لجذور المعادلات الحدودية من الدرجة الخامسة فما فوق، بدلالة معاملات
هاته الحدوديات، باستعمال العمليات الجبرية الاعتيادية (الجمع والطرح والضرب والقسمة)
وبتطبيق الجذور (أي الجذر المربع والجذر المكعب وما إلى ذلك).
ليس فقط
نظرية غالوا تعطي جوابا جميلا لهذا السؤال، بل تفسر أيضا لماذا يمكن حلحلة المعادلات
من الدرجة الرابعة فما أدنى بالطريقة المذكورة أعلاه، ولماذا هذه الحلول تأخذ الشكل
الذي تأخذه. بالإضافة إلى ذلك، تعطي نظرية غالوا الوسائل الواضحة اللائي يمكنن من القول
أن معادلة ما بشكل معين من درجة عالية يمكن أن تحلحل بالطريقة الموصوفة أعلاه.
كما تعطي
نظرية غالوا نظرة واضحة حول المسائل المتعلقة معضلات إنشاءات الفرجار والمسطرة. إنها
تحدد بشكل أنيق النسب بين أطوال القطع اللائي يمكن رسمهن باستعمال هذه الطريقة. وبذلك،
يمكن الإجابة بشكل سهل عن بعض المعضلات الكلاسيكية في الهندسة الرياضية كما يلي:
أي مضلع
منتظم هو مضلع قابل للإنشاء ؟
لماذا
يستحيل تثليث الزاوية (قسمة الزاوية إلى ثلاث زوايا متساوية)، باستعمال الفرجار والمسطرة
؟
